光子計數
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計量誤差
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飲料裝填量不足與超量的機率
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某飲料公司裝瓶流程嚴謹，每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配法則。隨機選取一罐，求（1）容量超過605毫升的機率；（2）容量小於590毫升的機率。
容量超過605毫升的機率 = p ( X > 605)= p ( ((X-μ) /σ) > ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z > 5/3) = p( Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
容量小於590毫升的機率 = p (X < 590) = p ( ((X-μ) /σ) < ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z < -10/3) = p( Z < -3.33) = 0.0004
6-標準差(6-sigma或6-σ)的品質管制標準
6-標準差(6-sigma或6-σ)，是製造業流行的品質管制標準。在這個標準之下，一個標準常態分配的變數值出現在正負三個標準差之外，只有2* 0.0013= 0.0026 (p (Z < -3) = 0.0013以及p(Z > 3) = 0.0013)。也就是說，這種品質管制標準的產品不良率只有萬分之二十六。假設例中的飲料公司裝瓶流程採用這個標準，而每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配。那么預期裝填容量的範圍應該多少？
6-標準差的範圍 = p ( -3 < Z < 3)= p ( - 3 < (X-μ) /σ < 3) = p ( -3 < (X- 600) / 3 < 3)= p ( -9 < X – 600 < 9) = p (591 < X < 609)
因此，預期裝填容量應該介於591至609毫升之間。
生物標本的物理特性
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金融變量
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壽命
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測試和智力分布
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計算學生智商高低的機率
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假設某校入學新生的智力測驗平均分數與标准差分別為100與12。那麼隨機抽取50個學生，他們智力測驗平均分數大於105的機率？小於90的機率？
本例沒有常態分配的假設，還好中央極限定理提供一個可行解，那就是當隨機樣本長度超過30，樣本平均數
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
近似於一個常態變數，
因此標準常態變數
Z
=
X
¯
−
μ
σ
/
n
{\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}
。
平均分數大於105的機率
P
(
Z
>
105
−
100
12
/
50
)
=
P
(
Z
>
5
/
1.7
)
=
P
(
Z
>
2.94
)
=
0.0016
{\displaystyle P(Z>{\frac {105-100}{12/{\sqrt {50}}}})=P(Z>5/1.7)=P(Z>2.94)=0.0016}
平均分數小於90的機率
P
(
Z
<
90
−
100
12
/
50
)
=
P
(
Z
<
−
5.88
)
=
0.0000
{\displaystyle P(Z<{\frac {90-100}{12/{\sqrt {50}}}})=P(Z<-5.88)=0.0000}