有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列
x
=
{
x
(
i
)
}
i
=
1
n
{\displaystyle x={\{x(i)\}}_{i=1}^{n}}
（因為序列是種以自然数系
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
為定義域的函數），而
x
{\displaystyle x}
的值域恰好是預備要依序進行笛卡儿积的所有集合，換句話說：
I
x
=
{
x
(
1
)
,
x
(
2
)
,
…
,
x
(
n
)
}
{\displaystyle I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}}
{
1
,
2
,
…
,
n
}
≅
x
I
x
{\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}}
這樣的話，若有函数
f
:
I
→
⋃
I
g
{\displaystyle f:I\to \bigcup I_{g}}
滿足：
(
∀
i
∈
I
)
[
f
(
i
)
∈
x
(
i
)
]
{\displaystyle (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]}
那就等價於
(
f
(
1
)
,
f
(
2
)
,
…
,
f
(
n
)
)
∈
∏
i
=
1
n
x
(
i
)
{\displaystyle (f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)}
換句話說，函数
f
{\displaystyle f}
可以看做
∏
i
=
1
n
x
(
i
)
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(i)}
裡的一個n-元组，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機：
定義 — 若
I
{\displaystyle I}
是集合族
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
的指标集，換句話說有指標函数
x
{\displaystyle x}
讓二者等势：
I
≅
x
X
{\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}
那以下的函数族
∏
x
X
:=
{
f
|
(
f
:
I
→
⋃
X
)
∧
(
∀
i
∈
I
)
[
f
(
i
)
∈
x
(
i
)
]
}
{\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}:=\left\{f\,{\bigg |}\,\left(f:I\to \bigcup {\mathcal {X}}\right)\wedge (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]\right\}}
被稱為集合族
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
關於指标函數
x
{\displaystyle x}
的无穷乘积。
更進一步的，若此時取一
j
∈
I
{\displaystyle j\in I}
，則以下定義的函數
π
j
{\displaystyle \pi _{j}}
π
j
:
∏
x
X
→
x
(
j
)
{\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)}
，
(
∀
f
∈
∏
x
X
)
[
π
j
(
f
)
=
f
(
j
)
]
{\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]}
被稱為第
j
{\displaystyle j}
投影映射。
在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然数集
N
,
{\displaystyle \mathbb {N} ,}
的时候：这正是其中第i项对应于集合
X
i
{\displaystyle X_{i}}
的所有无限序列的集合。再次，
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
提供了这样的一个例子：
∏
n
=
1
∞
R
=
R
ω
=
R
×
R
×
…
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }
是实数的无限序列的搜集，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。這樣，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。
在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。
“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理。