学习机器学习, 基础的线性代数知识是必备的基础功, 对于线性代数的探索, 矩阵是线性代数的主要研究对象. 今天我们就开始学习一下矩阵的基础知识. 这是本人关于线性代数矩阵的第一篇分享.

章节目录

矩阵及其基本运算 1.1 矩阵定义 1.2 矩阵基本运算(+,-,*) 1.3 转置矩阵 1.4 方阵的行列式 1.5 伴随矩阵 1.6 逆矩阵

矩阵的初等变换 2.1 矩阵的秩 2.2 矩阵的初等变换 2.3 求解线性方程组 2.4 初等矩阵

本文是一篇包含大量枯燥数学知识的文章, 作者能力有限, 如果您在阅读过程中发现任何错误, 还请您务必联系本人,指出错误, 避免后来读者再学习错误的知识.谢谢!

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矩阵及其基本运算

本章我们将主要介绍矩阵的概念以及其基本运算.

什么是矩阵:

由 m*n 个数 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) a i j ( i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n ) 排成的 m 行 n 列的数表

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ]

称为矩阵, aij a i j 称为这个矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 当 m=n时, 矩阵称为方阵.

通常用大写字母 A,B... A , B . . . 表示矩阵. 矩阵有时也简记为

A=(aij)m∗n或者A=(aij) A = ( a i j ) m ∗ n 或 者 A = ( a i j )

当无需指明元素时, m*n 矩阵 A A 也记为 Am∗n A m ∗ n .

元素都是零的 m*n 矩阵称为零矩阵, 记作 Om∗n O m ∗ n . 在不会产生混淆的情况下简记为 O O .

n 阶方阵

En=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ E n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ]

称为 n 阶的单位矩阵. 在不会产生混淆的情况下简记为 E E .

n 阶方阵

Λ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ Λ = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ]

称为对角矩阵. 简记为 Λ=diagλ1,λ2,...,λn Λ = d i a g λ 1 , λ 2 , . . . , λ n .

系数矩阵与增广矩阵:

假设有线性方程组:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...+annxn=bn { a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

其中线性方程组系数组成的矩阵

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ]

称为线性方程组的系数矩阵, 而

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮b